எளிமையாக்கல் (Simplification): BODMAS, பின்னங்கள், தசமங்கள், மீ.பொ.வ - மீ.பொ.மடங்கு, வர்க்கம், கனம், வகுத்தல் விதிகள், மீதி மற்றும் தோராயமாக்கல்

TNPSC திறனறிவுத் திறன் தேர்வுகளில் (Aptitude and Mental Ability) எளிமையாக்கல் என்பது மிக முக்கியமான அடிப்படைப் பாடமாகும். விகிதம்-விகிதாசாரம், சதவீதம், இலாபம்-நட்டம், நேரம்-வேலை, சராசரி, தரவு பகுப்பாய்வு போன்ற மற்ற அனைத்து எண்கணிதத் தலைப்புகளும் உங்கள் எளிமையாக்கல் திறனையே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளன. TNPSC குரூப் 1, குரூப் 2, குரூப் 2A, குரூப் 4, மற்றும் VAO தேர்வுகளில் ஒவ்வொரு ஆண்டும் இந்தத் தலைப்பிலிருந்து நேரடியாக 3 முதல் 6 வினாக்கள் வரை கேட்கப்படுகின்றன. மேலும் மற்ற எண்கணிதக் கேள்விகளில் கிட்டத்தட்ட 60-70% வினாக்களுக்கும் இந்தத் திறன் தேவைப்படுகிறது. இந்த அத்தியாயத்தில் BODMAS, பின்னங்கள், தசமங்கள், மீ.பொ.வ-மீ.பொ.ம, வர்க்கம்-வர்க்கமூலம், கனம்-கனமூலம், வகுத்தல் விதிகள், மீதி, தோராயமாக்கல், மற்றும் அடிப்படை இயற்கணித எளிமையாக்கல் ஆகிய அனைத்தும் விரிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளன.

தேர்வுக் குறிப்பு: TNPSC தேர்வுகளில் கால்குலேட்டர் பயன்படுத்த அனுமதி இல்லை. எனவே இந்த அத்தியாயத்திற்கான உங்கள் தயாரிப்பு மனக்கணக்கு வேகத்தை மேம்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

1. BODMAS விதி

1.1 BODMAS என்றால் என்ன?

ஒரு கணித சமன்பாட்டில் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் அடைப்புக்குறிகள் என பல செயல்பாடுகள் ஒன்றாக இருக்கும்போது, எந்த வரிசையில் தீர்க்க வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்கும் விதி BODMAS ஆகும். சரியான வரிசை இல்லாவிட்டால், ஒரே சமன்பாடு வெவ்வேறு நபர்களுக்கு வெவ்வேறு விடையைத் தரும். BODMAS இந்தக் குழப்பத்தை நீக்கி, அனைவருக்கும் பொதுவான ஒரு நிலையான வரிசையை நிர்ணயிக்கிறது.

எழுத்து	குறிக்கும் சொல்	பொருள்
B	Brackets (அடைப்புக்குறிகள்)	முதலில் ( ), { }, [ ] என்ற வரிசையில் தீர்க்க வேண்டும்
O	Of (இன்)	"இன்" என்பது பெருக்கலைக் குறிக்கும், ஆனால் சாதாரண ×, ÷ க்கு முன்பே தீர்க்கப்பட வேண்டும் (எ.கா. 20-ன் ½ = 10)
D	Division (வகுத்தல்)	÷ செயல்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்
M	Multiplication (பெருக்கல்)	× செயல்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்
A	Addition (கூட்டல்)	+ செயல்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்
S	Subtraction (கழித்தல்)	− செயல்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்

முக்கிய விதி: வகுத்தல் மற்றும் பெருக்கலுக்கு சம முன்னுரிமை உண்டு — இடமிருந்து வலமாக வரும் வரிசையில் தீர்க்க வேண்டும், வகுத்தலை எப்போதும் முதலில் தீர்க்க வேண்டும் என்று அர்த்தமில்லை. அதே விதி கூட்டல் மற்றும் கழித்தலுக்கும் பொருந்தும்.

1.2 அடைப்புக்குறிகளைத் தீர்க்கும் வரிசை

பல வகையான அடைப்புக்குறிகள் ஒன்றாக இருந்தால், இந்த வரிசையில் தீர்க்க வேண்டும்:

1. கோடு (Vinculum/Bar) ( ‾‾‾ ) — எண்களுக்கு மேலுள்ள கோடு, எல்லாவற்றுக்கும் முதலில் தீர்க்கப்பட வேண்டும்
2. சிறிய அடைப்புக்குறி ( )
3. வளைவு அடைப்புக்குறி { }
4. சதுர அடைப்புக்குறி [ ]

1.3 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: எளிமையாக்கவும்: 45 ÷ 9 × 3 + 6 − 2

படி 1 (வகுத்தல் & பெருக்கல், இடமிருந்து வலம்): 45÷9=5, பின் 5×3=15
படி 2: 15+6−2 ஆக மாறுகிறது
படி 3 (கூட்டல் & கழித்தல்): 15+6=21, 21−2=19
விடை: 19

எடுத்துக்காட்டு 2: எளிமையாக்கவும்: 12 + [18 − {15 − (8 − 3)}]

படி 1 (உள் அடைப்பு முதலில்): 8−3=5
படி 2: {15−5}=10
படி 3: [18−10]=8
படி 4: 12+8=20
விடை: 20

எடுத்துக்காட்டு 3 ("இன்" உள்ள TNPSC மாதிரி): எளிமையாக்கவும்: 40-ன் 1/2 + 25-ன் 3/5 − 6

படி 1 ("இன்" முதலில்): 1/2×40=20; 3/5×25=15
படி 2: 20+15−6=29
விடை: 29

1.4 BODMAS-ல் பொதுவான தவறுகள்

• வகுத்தலை பெருக்கலுக்கு முன் தானாகவே தீர்ப்பது — தவறு. இடமிருந்து வலமாகச் செல்ல வேண்டும்.
• "இன்" (Of) ஐ ஒரு தனி உயர் முன்னுரிமை செயல்பாடாகக் கருதாமல் இருப்பது.
• அடைப்புக்குறிகளை வெளியிலிருந்து உள்ளே தீர்ப்பதற்குப் பதிலாக உள்ளிருந்து வெளியே தீர்க்காமல் இருப்பது.
• அடைப்புக்குறியை நீக்கும்போது குறிச்சொல் தவறுகள் — முக்கியமாக அடைப்புக்கு முன் எதிர்மறைக் குறி இருந்தால் உள்ளிருக்கும் அனைத்து குறிகளும் மாற வேண்டும்.

2. பின்னங்கள் (Fractions)

2.1 வரையறை

பின்னம் ஒரு முழுவதின் பகுதியைக் குறிக்கும், p/q என எழுதப்படும். இதில் p தொகுதி (numerator), q கூறு (denominator), q ≠ 0.

வகை	வரையறை	எடுத்துக்காட்டு
சரியான பின்னம்	தொகுதி < கூறு	3/7
தவறான பின்னம்	தொகுதி ≥ கூறு	9/4
கலப்புப் பின்னம்	முழு எண் + சரியான பின்னம்	2¾
ஒரே மாதிரி பின்னங்கள்	ஒரே கூறு	2/9, 5/9
வேறுபட்ட பின்னங்கள்	வேறுபட்ட கூறு	2/3, 3/7
சம பின்னங்கள்	வடிவம் வேறு, மதிப்பு ஒன்று	1/2 = 2/4 = 4/8

2.2 பின்னங்களின் அடிப்படைச் செயல்பாடுகள்

கூட்டல்/கழித்தல்: கூறுகளின் மீ.பொ.மடங்கு (LCM) கண்டுபிடித்து ஒரே மாதிரி பின்னங்களாக மாற்றிய பின் தொகுதிகளைக் கூட்டவும்/கழிக்கவும்.

பெருக்கல்: தொகுதிகளை தொகுதிகளுடனும், கூறுகளை கூறுகளுடனும் பெருக்கவும்: (a/b)×(c/d)=ac/bd

வகுத்தல்: இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியுடன் பெருக்கவும்: (a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)

2.3 கலப்புப் பின்னத்தை தவறான பின்னமாக மாற்றுதல்

சூத்திரம்: தவறான பின்னம் = (முழு எண் × கூறு + தொகுதி) / கூறு

எடுத்துக்காட்டு: 3⅖ = (3×5+2)/5 = 17/5

2.4 பின்னங்களை விரைவாக ஒப்பிடும் முறை (குறுக்கு பெருக்கல் தந்திரம்)

a/b மற்றும் c/d ஐ ஒப்பிட, குறுக்கு பெருக்கவும்: a×d > b×c எனில், a/b > c/d.

எடுத்துக்காட்டு: 5/7 மற்றும் 8/11 ஐ ஒப்பிடவும் → 5×11=55, 7×8=56. 55<56 என்பதால் 5/7 < 8/11.

2.5 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: எளிமையாக்கவும்: 2/3 + 3/4 − 1/6

3,4,6-ன் மீ.பொ.ம = 12
= 8/12+9/12−2/12 = 15/12 = 5/4 = 1¼
விடை: 5/4

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): எளிமையாக்கவும்: (3/4-ன் 2/3) ÷ (2/5-ன் 5/6)

படி 1: 3/4-ன் 2/3 = 1/2; 2/5-ன் 5/6 = 1/3
படி 2: (1/2)÷(1/3) = 1/2×3/1 = 3/2
விடை: 3/2

2.6 பொதுவான தவறுகள்

• மீ.பொ.ம கண்டுபிடிக்காமல் நேரடியாக தொகுதி மற்றும் கூறுகளைக் கூட்டுவது.
• வகுத்தலின்போது இரண்டாவது பின்னத்தைத் தலைகீழாக்க மறப்பது.
• இறுதி விடையை மிகச் சிறிய வடிவத்திற்கு குறைக்காமல் இருப்பது.

3. தசமங்கள் (Decimals)

3.1 வரையறை

தசம எண் என்பது 10-ன் அடுக்குகளின் அடிப்படையில் பின்ன மதிப்புகளைக் குறிக்க தசமப் புள்ளியைப் பயன்படுத்தும் எண். எடுத்துக்காட்டு: 45.67 என்பது 45+6/10+7/100 ஐக் குறிக்கும்.

3.2 தசமங்களின் செயல்பாடுகள்

செயல்பாடு	விதி
கூட்டல்/கழித்தல்	தசமப் புள்ளிகளை நேராக வைத்து, வழக்கம் போல கூட்டவும்/கழிக்கவும்
பெருக்கல்	முழு எண்களாகப் பெருக்கி, இரு எண்களிலும் உள்ள மொத்த தசம இடங்களை எண்ணி தசமப் புள்ளியை வைக்கவும்
வகுத்தல்	வகுப்பானை தசமப்புள்ளியை நகர்த்தி முழு எண்ணாக மாற்றி, வகுபடும் எண்ணையும் அதே அளவு நகர்த்தவும்

3.3 பின்னத்தை தசமமாகவும், தசமத்தை பின்னமாகவும் மாற்றுதல்

பின்னம் → தசமம்: தொகுதியை கூறால் வகுக்கவும். எடுத்துக்காட்டு: 3/4=0.75

தசமம் → பின்னம்: தசம இலக்கங்களை 10-ன் பொருத்தமான அடுக்கின் மேல் தொகுதியாக எழுதி எளிமையாக்கவும். எடுத்துக்காட்டு: 0.375=375/1000=3/8

3.4 மீண்டும் மீண்டும் வரும் தசமங்கள் (Recurring Decimals)

தூய மீள் தசமம்: தசமப்புள்ளிக்குப் பின் உள்ள அனைத்து இலக்கங்களும் திரும்பத் திரும்ப வரும். சூத்திரம்: 0.ab திரும்பினால் = ab/99

கலப்பு மீள் தசமம்: சில இலக்கங்கள் மட்டும் திரும்பும். சூத்திரம்: (திரும்பாத + திரும்பும் இலக்கங்கள் சேர்ந்த முழு எண் − திரும்பாத பகுதி) / (திரும்பும் ஒவ்வொரு இலக்கத்திற்கும் 9, திரும்பாத ஒவ்வொரு இலக்கத்திற்கும் அதன் பின் 0)

எடுத்துக்காட்டு: 0.333...(0.3̄) ஐ பின்னமாக்கவும் = 3/9 = 1/3

எடுத்துக்காட்டு: 0.1666...(0.16̄) ஐ பின்னமாக்கவும் = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6

3.5 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: எளிமையாக்கவும்: 12.5×0.4 + 3.6÷0.9

12.5×0.4=5
3.6÷0.9=4
5+4=9
விடை: 9

எடுத்துக்காட்டு 2: 0.0025×0.16 எவ்வளவு?

25×16=400. மொத்த தசம இடங்கள்=4+2=6. விடை=0.000400=0.0004
விடை: 0.0004

3.6 பொதுவான தவறுகள்

• பெருக்கலுக்குப் பிறகு தசமப்புள்ளியை தவறான இடத்தில் வைப்பது.
• வகுத்தலின்போது வகுப்பானையும் வகுபடும் எண்ணையும் சமமாக நகர்த்த மறப்பது.
• கலப்பு மீள் தசமங்களுக்கு தவறான சூத்திரம் பயன்படுத்துவது.

4. மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம (HCF and LCM)

4.1 வரையறைகள்

மீ.பொ.வ (மிகப்பெரிய பொது வகுத்தி / HCF): இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகப்பெரிய எண்.

மீ.பொ.ம (மிகச்சிறிய பொது மடங்கு / LCM): இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கொடுக்கப்பட்ட எண்களால் சரியாக வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்.

4.2 முக்கிய சூத்திரம் (TNPSC-க்கு மிக முக்கியம்)

இரண்டு எண்களின் பெருக்கல்பலன் = மீ.பொ.வ × மீ.பொ.ம

இந்த சூத்திரம் அதிகமாகக் கேட்கப்படுகிறது. (எண் 1, எண் 2, மீ.பொ.வ, மீ.பொ.ம) இதில் ஏதேனும் மூன்று தெரிந்தால், நான்காவதைக் கண்டறியலாம்.

4.3 மீ.பொ.வ கண்டறியும் முறைகள்

முறை	செயல்முறை
பகா எண் காரணிப்படுத்தல்	ஒவ்வொரு எண்ணையும் பகா எண் காரணிகளாகப் பிரித்து, பொதுவான காரணிகளை மிகக் குறைந்த அடுக்குடன் பெருக்கவும்
வகுத்தல் முறை (யூக்ளிட் முறை)	பெரிய எண்ணை சிறிய எண்ணால் வகுக்கவும்; முந்தைய வகுப்பானை மீதியால் வகுக்கவும்; மீதி 0 ஆகும் வரை தொடரவும்; கடைசி வகுப்பானே மீ.பொ.வ

4.4 மீ.பொ.ம கண்டறியும் முறைகள்

முறை	செயல்முறை
பகா எண் காரணிப்படுத்தல்	அனைத்து பகா எண் காரணிகளையும் (பொதுவானவை மற்றும் பொதுவல்லாதவை) மிக அதிக அடுக்குடன் எடுத்து பெருக்கவும்
வகுத்தல் முறை	பொது பகா எண்களால் ஒரே நேரத்தில் வகுத்து, பொது காரணி இல்லாத வரை தொடரவும்; அனைத்து வகுப்பான்களையும் மீதமுள்ள ஈவுகளையும் பெருக்கவும்

4.5 பின்னங்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம

பின்னங்களின் மீ.பொ.வ = தொகுதிகளின் மீ.பொ.வ / கூறுகளின் மீ.பொ.ம
பின்னங்களின் மீ.பொ.ம = தொகுதிகளின் மீ.பொ.ம / கூறுகளின் மீ.பொ.வ

4.6 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: 24 மற்றும் 36-ன் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம கண்டறியவும்.

24=2³×3; 36=2²×3²
மீ.பொ.வ=2²×3=12
மீ.பொ.ம=2³×3²=72
சரிபார்: 24×36=864; 12×72=864 ✓
விடை: மீ.பொ.வ=12, மீ.பொ.ம=72

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): இரண்டு எண்களின் மீ.பொ.வ 12, மீ.பொ.ம 144. ஒரு எண் 36 எனில் மற்ற எண்ணைக் கண்டறியவும்.

மற்ற எண் = (மீ.பொ.வ×மீ.பொ.ம)/கொடுக்கப்பட்ட எண் = (12×144)/36 = 1728/36 = 48
விடை: 48

எடுத்துக்காட்டு 3 (நடைமுறைப் பயன்பாடு): 245 மற்றும் 1029-ஐ வகுக்கும்போது ஒவ்வொன்றிலும் 5 மீதி வரும் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கண்டறியவும்.

மீதியைக் கழிக்கவும்: 245−5=240; 1029−5=1024
240,1024-ன் மீ.பொ.வ கண்டறியவும் → மீ.பொ.வ=16
விடை: 16

எடுத்துக்காட்டு 4: 12, 16, 24 ஆல் வகுக்கும்போது ஒவ்வொன்றிலும் 5 மீதி தரும் மிகச்சிறிய எண்ணைக் கண்டறியவும்.

12,16,24-ன் மீ.பொ.ம=48
தேவையான எண்=48+5=53
விடை: 53

4.7 தந்திரமான குறுக்கு வழிகள்

• x,y,z-ஐ வகுக்கும்போது ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே மீதி r தரும் மிகப்பெரிய எண்: (x−r),(y−r),(z−r)-ன் மீ.பொ.வ
• x,y,z-ஐ வகுக்கும்போது முறையே a,b,c மீதி தரும் மிகப்பெரிய எண்: (x−a),(y−b),(z−c)-ன் மீ.பொ.வ
• x,y,z ஆல் வகுக்கும்போது ஒவ்வொன்றிலும் மீதி r தரும் மிகச்சிறிய எண்: மீ.பொ.ம(x,y,z)+r
• x,y,z ஆல் சரியாக வகுபடும் மிகச்சிறிய எண் (மீதியின்றி): மீ.பொ.ம(x,y,z)

5. வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் (Squares and Square Roots)

5.1 வரையறை

ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் = அந்த எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்குவது (n²). ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலம் என்பது, தன்னைத் தானே பெருக்கும்போது அந்த எண்ணைத் தரும் மதிப்பு (√n).

5.2 மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய வர்க்கங்கள் (1 முதல் 30 வரை)

30 வரை வர்க்கங்களை மனப்பாடம் செய்வது TNPSC தேர்வுகளில் அதிக நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்: 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225, 16²=256, 17²=289, 18²=324, 19²=361, 20²=400, 21²=441, 22²=484, 23²=529, 24²=576, 25²=625, 26²=676, 27²=729, 28²=784, 29²=841, 30²=900

5.3 வர்க்கமூலம் கண்டறியும் முறைகள்

முறை	எப்போது சிறந்தது
பகா எண் காரணிப்படுத்தல்	முழு வர்க்கங்களுக்கு — ஒரே மாதிரியான பகா காரணிகளை ஜோடி சேர்த்து ஒவ்வொரு ஜோடியிலிருந்தும் ஒன்றை எடுக்கவும்
நீள வகுத்தல் முறை	பெரிய எண்கள், தசமங்கள், முழு வர்க்கம் அல்லாத எண்களுக்கு
தோராயமாக்கல் முறை	பலதேர்வு வினாக்களில் விரைவான தோராய விடைகளுக்கு

5.4 முழு வர்க்கங்களுக்கான வர்க்கமூலக் குறுக்குவழி (கடைசி இலக்கத் தந்திரம்)

ஒரு முழு வர்க்கம் ஒரு குறிப்பிட்ட இலக்கத்தில் முடிந்தால், அதன் வர்க்கமூலத்தின் கடைசி இலக்கம் ஒரு முறையைப் பின்பற்றும்:

முழு வர்க்கத்தின் கடைசி இலக்கம்	வர்க்கமூலத்தின் சாத்தியமான கடைசி இலக்கம்
1	1 அல்லது 9
4	2 அல்லது 8
9	3 அல்லது 7
6	4 அல்லது 6
5	5
0	0
2, 3, 7, 8	முழு வர்க்கம் இல்லை

எடுத்துக்காட்டு: √7921 கண்டறியவும். கடைசி இலக்கம் 1 → மூலம் 1 அல்லது 9-ல் முடியும். 7921, 80²(6400)-க்கும் 90²(8100)-க்கும் இடையில் இருப்பதால், மூலம் 80-90க்கு இடையில், 89-க்கு அருகில். 89²=7921 எனச் சரிபார்க்கவும். விடை: 89

5.5 தசமங்கள் மற்றும் பின்னங்களின் வர்க்கமூலம்

√(a/b) = √a/√b. தசமங்களுக்கு, தேவைப்பட்டால் ஒரு பூஜ்ஜியம் சேர்த்து தசம இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை இரட்டைப்படை ஆக்கி, பின் நீள வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

5.6 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: காரணிப்படுத்தல் மூலம் 1156-ன் வர்க்கமூலத்தைக் கண்டறியவும்.

1156=2×2×17×17=2²×17²
√1156=2×17=34
விடை: 34

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): √0.0081 = ?

0.0081=81/10000
√81=9, √10000=100
=9/100=0.09
விடை: 0.09

5.7 பொதுவான தவறுகள்

• நீள வகுத்தல் பயன்படுத்தும் முன் தசம இலக்கங்களை சரியாக ஜோடி சேர்க்காமல் இருப்பது.
• வர்க்கமூல குறுக்குவழியை உண்மையான சரிபார்ப்புடன் குழப்புவது — பலதேர்வு வினாக்களில் எப்போதும் ஒரு பெருக்கலுடன் சரிபார்க்கவும்.

6. கனம் மற்றும் கனமூலம் (Cubes and Cube Roots)

6.1 வரையறை

ஒரு எண்ணின் கனம் = அந்த எண்ணை மூன்று முறை தன்னால் பெருக்குவது (n³). கனமூலம் என்பது கனப்படுத்தும்போது அந்த எண்ணைத் தரும் மதிப்பு (∛n).

6.2 மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய கனங்கள் (1 முதல் 15 வரை)

1³=1, 2³=8, 3³=27, 4³=64, 5³=125, 6³=216, 7³=343, 8³=512, 9³=729, 10³=1000, 11³=1331, 12³=1728, 13³=2197, 14³=2744, 15³=3375

6.3 கனமூலக் குறுக்குவழி (கடைசி இலக்கத் தந்திரம்)

வர்க்கமூலத்தைப் போலல்லாமல், கனமூலத்திற்கு ஒவ்வொரு கடைசி இலக்கத்திற்கும் ஒரே ஒரு தனித்துவமான கடைசி இலக்கம் இருக்கும் — இது கனமூலக் குறுக்குவழிகளை மிகவும் நம்பகமானதாக்குகிறது:

முழு கனத்தின் கடைசி இலக்கம்	கனமூலத்தின் கடைசி இலக்கம்
1	1
8	2
7	3
4	4
5	5
6	6
3	7
2	8
9	9
0	0

6.4 பெரிய முழு கனங்களின் கனமூலம் கண்டறியும் முறை (குழு தந்திரம்)

படி 1: வலமிருந்து 3 இலக்கங்கள் கொண்ட குழுக்களாகப் பிரிக்கவும்.
படி 2: கடைசி குழு மேலே உள்ள அட்டவணையின்படி கனமூலத்தின் ஒன்றுகளின் இடத்தைத் தரும்.
படி 3: முதல் குழு பத்துகளின் இடத்தைத் தரும் — முதல் குழுவின் மதிப்பை விட குறைவான அல்லது சமமான மிகப்பெரிய கனத்தைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு: ∛175616 கண்டறியவும்
குழு: 175 | 616
கடைசி குழு 616, 6-ல் முடிகிறது → கனமூலம் 6-ல் முடியும்
முதல் குழு 175: 175-க்கு குறைவான அல்லது சமமான மிகப்பெரிய கனம் 5³=125 (6³=216 அதிகம்) → பத்துகள் இடம்=5
விடை: 56 (சரிபார்: 56³=175616 ✓)

6.5 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: ∛13824 கண்டறியவும்

குழு: 13 | 824
824, 4-ல் முடிகிறது → மூலம் 4-ல் முடியும்
13: 13-க்கு குறைவான மிகப்பெரிய கனம் 2³=8 → பத்துகள் இடம்=2
விடை: 24 (சரிபார்: 24³=13824 ✓)

எடுத்துக்காட்டு 2: ∛(0.000343) எளிமையாக்கவும்

0.000343=343/1000000
∛343=7, ∛1000000=100
=7/100=0.07
விடை: 0.07

6.6 பொதுவான தவறுகள்

• 3 இலக்கங்களுக்குப் பதிலாக 2 இலக்கங்களாகக் குழுவாக்குவது (அது வர்க்கமூலத்திற்கு, கனமூலத்திற்கு அல்ல).
• கனமூலத்தின் கடைசி இலக்கம் தனித்துவமானது (வர்க்கமூலத்தைப் போல இரண்டு விருப்பங்கள் இல்லை) என்பதை மறப்பது.

7. வகுத்தல் விதிகள் (Divisibility Rules)

7.1 TNPSC-க்கு இது ஏன் முக்கியம்

வகுத்தல் விதிகள், உண்மையான வகுத்தல் செய்யாமல் ஒரு பெரிய எண் மற்றொரு எண்ணால் வகுபடுகிறதா என்று விரைவாகச் சரிபார்க்க உதவுகின்றன — மீ.பொ.வ/மீ.பொ.ம, காரணிப்படுத்தல், மற்றும் நீக்கல் முறை பலதேர்வு வினாக்களைத் தீர்க்க இது இன்றியமையாதது.

வகுப்பான்	வகுத்தல் விதி
2	கடைசி இலக்கம் 0,2,4,6, அல்லது 8
3	அனைத்து இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபடும்
4	கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் சேர்ந்த எண் 4-ஆல் வகுபடும்
5	கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5
6	எண் 2 மற்றும் 3 இரண்டாலும் வகுபடும்
7	கடைசி இலக்கத்தை இரட்டிப்பாக்கி, மீதமுள்ள எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும்; விடை 7-ஆல் வகுபட்டால் (தேவைப்பட்டால் மீண்டும் செய்யவும்)
8	கடைசி மூன்று இலக்கங்கள் சேர்ந்த எண் 8-ஆல் வகுபடும்
9	அனைத்து இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 9-ஆல் வகுபடும்
10	கடைசி இலக்கம் 0
11	(ஒற்றைப்படை இடங்களில் உள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை − இரட்டைப்படை இடங்களில் உள்ள இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை) 0 அல்லது 11-ஆல் வகுபடும்
12	எண் 3 மற்றும் 4 இரண்டாலும் வகுபடும்
13	கடைசி இலக்கத்தை 4-ஆல் பெருக்கி, மீதமுள்ள எண்ணுடன் கூட்டவும்; விடை 13-ஆல் வகுபடும்

7.2 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: 4368, 11-ஆல் வகுபடுமா?

வலமிருந்து இலக்கங்கள்: 8(ஒற்றை இடம்1), 6(இரட்டை இடம்2), 3(ஒற்றை இடம்3), 4(இரட்டை இடம்4)
ஒற்றை இடங்களின் கூட்டுத்தொகை=8+3=11
இரட்டை இடங்களின் கூட்டுத்தொகை=6+4=10
வித்தியாசம்=11−10=1 → 11-ஆல் வகுபடாது
விடை: வகுபடாது

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): 5678-ஐ 9-ஆல் வகுபடச் செய்ய கூட்ட வேண்டிய மிகச்சிறிய எண்ணைக் கண்டறியவும்.

5678-ன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை=5+6+7+8=26
26-க்குப் பிறகு வரும் அடுத்த 9-ன் மடங்கு 27
கூட்ட வேண்டிய எண்=27−26=1
விடை: 1

7.3 பொதுவான தவறுகள்

• 9-ஆல் வகுபடுவதைச் சரிபார்க்க 3-ன் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்துவது (இலக்கத் தொகை இலக்குகள் வேறு).
• 11-ன் விதியில் ஒற்றை/இரட்டை இட எண்ணும் திசையைக் குழப்புவது.

8. மீதி (Remainders)

8.1 அடிப்படைக் கருத்து

ஒரு எண்ணை (வகுபடு எண்) மற்றொரு எண்ணால் (வகுப்பான்) வகுக்கும்போது, ஈவு (Quotient) மற்றும் மீதி (Remainder) கிடைக்கும்.

வகுபடு எண் = (வகுப்பான் × ஈவு) + மீதி

மீதி எப்போதும் வகுப்பானை விடக் குறைவாக இருக்கும்.

8.2 மீதியின் பண்புகள் (TNPSC பலதேர்வு வினாக்களுக்குப் பயனுள்ளது)

• ஒரு எண் N-ஐ d-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி r எனில், N=dk+r (k ஒரு முழு எண்)
• கூட்டுத்தொகையின் மீதி = (மீதி1+மீதி2) mod வகுப்பான்
• பெருக்கல்பலனின் மீதி = (மீதி1×மீதி2) mod வகுப்பான்
• ஒரு பெரிய அடுக்கின் மீதியைக் கண்டறிய, மீதிகளின் மீண்டும் நிகழும் சுழற்சி (pattern) தேடவும் — அடுக்கின் ஒன்றுகள் இட எண்ணைக் கண்டறியும் வினாக்களில் இது பெரிதும் பயனுள்ளது.

8.3 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: ஒரு எண்ணை 5-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 3. அந்த எண்ணின் வர்க்கத்தை 5-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி என்ன?

N=5k+3 → N²=25k²+30k+9
25k² மற்றும் 30k ஆகியவை 5-ஆல் வகுபடும். 9÷5-ன் மீதி = 4
விடை: 4

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): 2^50-ஐ 7-ஆல் வகுக்கும்போது மீதியைக் கண்டறியவும்.

2-ன் அடுக்குகள் mod 7 சுழற்சி: 2¹=2, 2²=4, 2³=1, பின் ஒவ்வொரு 3 உறுப்புகளுக்கும் மீண்டும் வரும்
50÷3=16 மீதி 2 → 2²=4 போன்றே
விடை: 4

8.4 பொதுவான தவறுகள்

• மீதி எப்போதும் வகுப்பானை விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை மறப்பது — வகுப்பானை விட பெரிய "மீதி" வந்தால் மீண்டும் கணக்கிட வேண்டும்.
• கூட்டுத்தொகை/பெருக்கல் மீதி விடைகளை இறுதி mod செயல்பாட்டுடன் குறைக்காமல் இருப்பது.

9. தோராயமாக்கல் (Approximation)

9.1 கருத்து

தோராயமாக்கல் வினாக்கள், துல்லியமான நீண்ட கணக்கீடுகள் செய்யாமல் உண்மையான மதிப்பிற்கு அருகில் உள்ள ஒரு விடையை மதிப்பிட எண்களை வட்டமிட்டுச் சொல்லக் கேட்கும் — நோக்கக் கூறு வகை TNPSC தேர்வுகளில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்த இது இன்றியமையாதது.

9.2 வட்டமிடும் விதிகள்

• கழிக்கப்பட வேண்டிய இலக்கம் 5 அல்லது அதற்கு மேல் இருந்தால், முந்தைய இலக்கத்தை மேலே வட்டமிடவும்.
• கழிக்கப்பட வேண்டிய இலக்கம் 5-க்குக் குறைவாக இருந்தால், முந்தைய இலக்கம் மாறாமல் இருக்கும்.
• "≈" (தோராயமாக சமம்) வகை வினாக்களுக்கு, கணக்கிடும் முன் ஒவ்வொரு எண்ணையும் அருகிலுள்ள வசதியான முழு எண்ணாக வட்டமிடவும்.

9.3 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: 3998.9 ÷ 19.99 × 5.001-ன் தோராய மதிப்பைக் கண்டறியவும்

தோராயம்: 4000÷20×5 = 200×5=1000
விடை: ≈1000

எடுத்துக்காட்டு 2: 419.99+218.001−99.98=? இதில் "?"-க்குப் பதிலாக என்ன தோராய மதிப்பு வர வேண்டும்?

தோராயம்: 420+218−100=538
விடை: ≈538

9.4 பொதுவான தவறுகள்

• எண்களை மிக அதிகமாக வட்டமிட்டு, பல படி கணக்கீடுகளில் பெரிய பிழைகள் ஏற்படுவது.
• தவறான திசையில் வட்டமிடுவது (மேலே செல்ல வேண்டியதற்குப் பதிலாக கீழே செல்வது).

10. அடிப்படை இயற்கணித எளிமையாக்கல் (Basic Algebraic Simplification)

10.1 முக்கிய இயற்கணித அடையாளங்கள் (மனப்பாடம் செய்ய வேண்டியவை)

அடையாளம்	சூத்திரம்
கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம்	(a+b)² = a² + 2ab + b²
வித்தியாசத்தின் வர்க்கம்	(a−b)² = a² − 2ab + b²
வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்	a² − b² = (a+b)(a−b)
கூட்டுத்தொகையின் கனம்	(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
வித்தியாசத்தின் கனம்	(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
கனங்களின் கூட்டுத்தொகை	a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)
கனங்களின் வித்தியாசம்	a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
கூட்டல்-வித்தியாச தொடர்பு	(a+b)² − (a−b)² = 4ab
	(a+b)² + (a−b)² = 2(a² + b²)

10.2 இந்த அடையாளங்கள் TNPSC-க்கு ஏன் முக்கியம்

பல "எளிமையாக்கல்" வினாக்கள் மிக நீளமாகத் தோன்றும் ஆனால் உண்மையில் இந்த அடையாளங்களின் நேரடிப் பயன்பாடே ஆகும். அடையாள முறையை உடனடியாக அடையாளம் கண்டால், தீர்க்கும் நேரம் 2 நிமிடத்திலிருந்து 15 வினாடிகளாகக் குறையும்.

10.3 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1: அடையாளம் பயன்படுத்தி (97)²-ஐ எளிமையாக்கவும்.

97=100−3
(100−3)²=100²−2×100×3+3²=10000−600+9=9409
விடை: 9409

எடுத்துக்காட்டு 2 (TNPSC மாதிரி): a+b=12, ab=27 எனில் a²+b² கண்டறியவும்

a²+b²=(a+b)²−2ab=144−54=90
விடை: 90

எடுத்துக்காட்டு 3: எளிமையாக்கவும்: (25.4×25.4−14.6×14.6)/(25.4−14.6)

இது a²−b² வடிவம்: தொகுதி=(a+b)(a−b), கூறு=(a−b)
எனவே சமன்பாடு (a+b)=25.4+14.6=40 ஆக எளிமையாகும்
விடை: 40

எடுத்துக்காட்டு 4: எளிமையாக்கவும்: (7.83×7.83+2×7.83×2.17+2.17×2.17)

இது (a+b)² வடிவம், a=7.83, b=2.17
=(7.83+2.17)²=10²=100
விடை: 100

10.4 பொதுவான தவறுகள்

• அடையாள முறைகளை அடையாளம் காணாமல், அதற்குப் பதிலாக நீண்ட பெருக்கல் செய்வது (விலைமதிப்பற்ற தேர்வு நேரத்தை வீணடிக்கிறது).
• (a−b)² மற்றும் (a−b)³ விரிவாக்கங்களில் குறிச்சொல் தவறுகள்.

📝 மாதிரி பலதேர்வு வினாக்கள் (TNPSC தேர்வு முறை)

வ.எண்	வினா	விருப்பங்கள்	விடை மற்றும் தீர்வு
1	எளிமையாக்கவும்: 8+4÷2×3−5	அ) 9 ஆ) 15 இ) 5 ஈ) 11	அ) 9 — 8+(4÷2)×3−5=8+2×3−5=8+6−5=9
2	இரண்டு எண்களின் மீ.பொ.வ 18, மீ.பொ.ம 720. ஒரு எண் 72 எனில், மற்ற எண்ணைக் கண்டறியவும்.	அ) 150 ஆ) 180 இ) 200 ஈ) 240	ஆ) 180 — (18×720)/72=180
3	√3969 கண்டறியவும்	அ) 61 ஆ) 63 இ) 67 ஈ) 69	ஆ) 63 — 63×63=3969
4	∛35937 கண்டறியவும்	அ) 31 ஆ) 33 இ) 35 ஈ) 39	ஆ) 33 — கடைசி இலக்கம் 7→மூலம் 3-ல் முடியும்; 35→3³=27≤35→பத்துகள் இடம்3; 33³=35937
5	பின்வருவனவற்றுள் எது 11-ஆல் வகுபடும்?	அ) 2531 ஆ) 4521 இ) 7942 ஈ) 9042	ஈ) 9042 — (9+4)−(0+2)=11, 11-ஆல் வகுபடும்
6	எளிமையாக்கவும்: 3-ன் 5-ல் 2/3 + 1/4÷1/2	அ) 1.1 ஆ) 1 இ) 0.9 ஈ) 1.5	இ) 0.9 — 3/5×2/3=2/5=0.4; 1/4÷1/2=1/2=0.5; 2/5+1/2=4/10+5/10=9/10=0.9

🎯 இந்த அத்தியாயத்திற்கான TNPSC தேர்வு உத்தி

• பயிற்சி வினாக்களைத் தொடங்கும் முன் வர்க்கங்கள் (1-30), கனங்கள் (1-15), மற்றும் அடிப்படை பின்னம்-தசம மாற்றங்களை மனப்பாடம் செய்யவும் — இது ஒவ்வொரு வினாவிற்கும் 30-40 வினாடிகள் மிச்சப்படுத்தும்.
• தேர்வு அறையில், கணக்கிடத் தொடங்கும் முன் வினாவில் அடையாள முறைகளை (a²−b², (a+b)² போன்றவை) முதலில் கவனிக்கவும்.
• BODMAS வினாக்களுக்கு, ஒவ்வொரு படியையும் அளவைத் தாளில் எழுதவும் — தேர்வு அழுத்தத்தில் மனதளவில் மட்டும் தீர்ப்பது பிழை ஏற்படும் அபாயத்தை அதிகரிக்கும்.
• மீ.பொ.வ/மீ.பொ.ம சொல் வினாக்களுக்கு, முக்கிய சொற்களை அடையாளம் காணவும்: "வகுக்கும் மிகப்பெரிய எண்" → மீ.பொ.வ கருத்து; "வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்" → மீ.பொ.ம கருத்து.
• 7, 11, 13 க்கான வகுத்தல் விதிகளை மீண்டும் மீண்டும் பயிற்சி செய்யவும் — இவை குறைவான உள்ளுணர்வுடையவை மற்றும் பொதுவாகக் கேட்கப்படுபவை.
• தோராயமாக்கல் வினாக்களில், எப்போதும் அருகிலுள்ள 10-க்கு மட்டும் அல்லாமல், அருகிலுள்ள வசதியான எண்ணுக்கு வட்டமிடவும்.
• நேர இலக்கு: பயிற்சியின்போது ஒவ்வொரு எளிமையாக்கல் பலதேர்வு வினாவையும் 45-50 வினாடிகளுக்குள் தீர்க்க முயற்சிக்கவும், படிப்படியாக 30 வினாடிகளாகக் குறைக்கவும்.

✅ இறுதி மறுமதிப்பீட்டு புள்ளிகள்

• BODMAS: அடைப்புக்குறி → இன் → வகுத்தல்/பெருக்கல் (இடமிருந்து வலம்) → கூட்டல்/கழித்தல் (இடமிருந்து வலம்)
• பின்னங்கள்: கூட்டல்/கழித்தலுக்கு மீ.பொ.ம; வகுத்தலுக்கு குறுக்கு பெருக்கல்; பெருக்கலுக்கு நேரடி பெருக்கல்
• தசமங்கள்: +/− க்கு புள்ளிகளை நேராக வைக்கவும்; × க்கு மொத்த தசம இடங்களை எண்ணவும்; ÷ க்கு தசமப்புள்ளியை நகர்த்தவும்
• மீ.பொ.வ × மீ.பொ.ம = இரண்டு எண்களின் பெருக்கல்பலன் — மிக அதிகமாகக் கேட்கப்படும் ஒரே சூத்திரம்
• வர்க்கமூல கடைசி இலக்கத் தந்திரம்: இரண்டு சாத்தியங்கள்; கனமூல கடைசி இலக்கத் தந்திரம்: ஒரே ஒரு தனித்துவமான சாத்தியம்
• வகுத்தல்: 2,3,4,5,6,8,9,10,11-ஆல் விதிகளை நன்கு தேர்ச்சி பெறவும்; மேம்பட்ட நிலைக்கு 7, 13 அறிந்திருக்கவும்
• மீதி: வகுபடு எண் = வகுப்பான்×ஈவு+மீதி; மீதி எப்போதும் வகுப்பானை விட குறைவு
• தோராயமாக்கல்: கணக்கிடும் முன் அருகிலுள்ள வசதியான எண்ணுக்கு வட்டமிடவும்
• இயற்கணித அடையாளங்கள்: (a+b)², (a−b)², a²−b², கன அடையாளங்கள் — முறைகளை உடனடியாக அடையாளம் காணவும்

முடிவுரை

எளிமையாக்கல் என்பது வெறும் ஒரு அத்தியாயம் மட்டுமல்ல — இது உங்கள் முழு TNPSC திறனறிவுத் தயாரிப்பும் கட்டமைக்கப்படும் அடித்தளமாகும். BODMAS, பின்னங்கள், தசமங்கள், மீ.பொ.வ-மீ.பொ.ம, வர்க்கங்கள், கனங்கள், வகுத்தல் விதிகள், மீதி, தோராயமாக்கல், மற்றும் இயற்கணித அடையாளங்களில் வலுவான புரிதல் உங்கள் மற்ற அனைத்து எண்கணிதத் தலைப்புகளிலும் வேகத்தையும் துல்லியத்தையும் நேரடியாக அதிகரிக்கும். ஒரு நேரக்கடிகாரத்துடன் தினமும் பயிற்சி செய்யவும், சூத்திர அட்டவணைகளை தொடர்ந்து மறுபரிசீலனை செய்யவும், மேலும் ஆணையம் விரும்பும் சரியான வினா முறைகளை அடையாளம் காண முந்தைய ஆண்டு TNPSC வினாத்தாள்களை முயற்சி செய்யவும். இந்த அத்தியாயத்தை மட்டும் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்வது TNPSC குரூப் 1, குரூப் 2, குரூப் 2A, குரூப் 4, மற்றும் VAO தேர்வுகளின் திறனறிவுப் பிரிவில் 4-6 மதிப்பெண்களை வசதியாகப் பெற உதவும்.